Олимпиадные задачи по теме «Теория чисел. Делимость» для 7 класса - сложность 4 с решениями
Теория чисел. Делимость
НазадНатуральные числа <i>x</i> и <i>y</i> таковы, что 2<i>x</i>² – 1 = <i>y</i><sup>15</sup>. Докажите, что если <i>x</i> > 1, то <i>x</i> делится на 5.
Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных <i>m, n</i> > 100 сумма чисел в любом прямоугольнике <i>m</i>×<i>n</i> клеток делилась на <i>m + n</i>?
Для каких <i>n</i> существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из <i>n</i> звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
По окружности выписаны <i>n</i> чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub><i>n</i></sub>, каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого <i>k</i> = 1, 2, ..., <i>n</i> – 1 сумма <i>n</i> произведений чисел, отстоящих друг от друга на <i>k</i> мест, равна нулю
(то есть <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub> + ... + <i>x<sub>n</sub>x</i><sub>1</sub> = 0, <i>x</i><sub>...