Олимпиадные задачи по теме «Модуль числа» для 9 класса - сложность 4 с решениями

За круглым столом сидят десять человек, перед каждым – несколько орехов. Всего орехов – сто. По общему сигналу каждый передаёт часть своих орехов соседу справа: половину, если у него (у того, кто передаёт) было чётное число, или один орех плюс половину остатка – если нечётное число. Такая операция проделывается второй раз, затем третий и так далее, до бесконечности. Докажите, что через некоторое время у всех станет по десять орехов.

Если разность между наибольшим и наименьшим из<nobr><i>n</i> данных</nobr>вещественных чисел<nobr>равна <i>d</i>,</nobr>а сумма модулей всех<nobr><i>n</i>(<i>n</i> – 1)/2</nobr>попарных разностей этих чисел<nobr>равна <i>s</i>,</nobr>то(<i>n</i> – 1)<i>d</i> <font face="Symbol">£</font> <i>s</i> <font face="Symbol">£</font> <i>n</i>²<i>d</i>/4.Докажите это.